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小明对搭积木非常感兴趣。他的积木都是同样大小的正立方体。
在搭积木时,小明选取 m 块积木作为地基,将他们在桌子上一字排开,中间不留空隙,并称其为第0层。
随后,小明可以在上面摆放第1层,第2层,……,最多摆放至第n层。摆放积木必须遵循三条规则
规则1:每块积木必须紧挨着放置在某一块积木的正上方,与其下一层的积木对齐;
规则2:同一层中的积木必须连续摆放,中间不能留有空隙;
规则3:小明不喜欢的位置不能放置积木。
其中,小明不喜欢的位置都被标在了图纸上。图纸共有n行,从下至上的每一行分别对应积木的第1层至第n层。每一行都有m个字符,字符可能是‘.'或‘X',其中‘X'表示这个位置是小明不喜欢的。
现在,小明想要知道,共有多少种放置积木的方案。他找到了参加蓝桥杯的你来帮他计算这个答案。
由于这个答案可能很大,你只需要回答这个答案对1000000007(十亿零七)取模后的结果。
注意:地基上什么都不放,也算作是方案之一种。
输入格式:
数据的第一行有两个正整数n和m,表示图纸的大小。
随后n行,每行有m个字符,用来描述图纸 。每个字符只可能是‘.'或‘X'。
输出格式:
一个整数,表示答案对1000000007取模后的结果。
输入样例1:
2 3
..X
.X.
输出样例1:
4
输入样例2:
3 3
..X
.X.
...
输出样例2:
16
解题思路:
首先先推导出递推式,观察题目:
用代码表示即为:
for(int c=1;c意思是
在第i层的a到b长度放置积木的可能数=在i-1层的所有包含a到b的长度的积木的可能数的和。除了单纯的判断递推式以外,还需要考虑一种特殊情况,就是积木放置的长度中存在X,即小明不想放的位置,那么就不需要进行递推,直接返回0。
判断[a,b]是否存在X,可以用前缀和来判断,节省时间。
前缀和初始化为:s[i][j] = s[i][j-1] + (temp=='X');推导出递推式以后可以很容易的写出代码:
#includeusing namespace std; const int N = 30; int n, m; int dp[30][30][30]; int s[30][30]; int cnt=1; int main() { cin >> n >> m; getchar(); for (int i = n; i >0; i--) {//初始化前缀和 for (int j = 1; j <= m; j++) { char temp = getchar(); s[i][j] = s[i][j-1] + (temp=='X'); } getchar(); } dp[0][1][m]=1;//第0层,长度从1到m的积木有一种可能 for (int i = 1; i <=n; i++) {//第i层 for (int a = 1; a <= m; a++) { for (int b = a; b <= m; b++) { if (s[i][b] - s[i][a - 1] != 0) {//a到b区间存在X dp[i][a][b] = 0; continue; } for (int c = 1; c <= a; c++) { for (int d = b; d <= m; d++) { dp[i][a][b] += dp[i - 1][c][d]; } } cnt += dp[i][a][b];//记录数量 } } } cout << cnt; return 0; } 优化
但是仔细一想,五个for循环无法通过最后50%的测试点,所以需要进行优化,观察最内层的两个c,d的for循环可知,有如下图像:
实际上最内层的两个循环就是在求第i-1层的红色区域面积。
那我们再利用二维的前缀和进行存储,那就可以优化掉两个循环,从而使时间复杂度降低,通过最后的测试点。#includeusing namespace std; const int N = 30; const int mod = 1e9 + 7; int n, m; int dp[30][30][30]; int s[30][30];//用来判断是否存在X int sum[30][30];//指的是左下角所有dp[i][][]的和 int cnt=1; void get_fixsum(int i) { //更新第i层的前缀和数组 for (int a = 1; a <= m; a++) { for (int b = 1; b <= m; b++) { sum[a][b] =(sum[a][b-1]+sum[a-1][b]-sum[a-1][b-1]+ dp[i][a][b])%mod; } } } int main() { cin >> n >> m; getchar(); for (int i = n; i >0; i--) { for (int j = 1; j <= m; j++) { char temp = getchar(); s[i][j] = s[i][j-1] + (temp=='X'); } getchar(); } dp[0][1][m]=1;//第0层,长度从1到m的积木有一种可能 get_fixsum(0); for (int i = 1; i <=n; i++) {//层数 for (int a = 1; a <= m; a++) { for (int b = a; b <= m; b++) { if (s[i][b] - s[i][a - 1] != 0) {//a到b区间存在X dp[i][a][b] = 0; continue; } dp[i][a][b] = (sum[a][m] - sum[0][m] - sum[a][b-1] + sum[0][b-1])%mod; cnt =(cnt+ dp[i][a][b])%mod; } } get_fixsum(i); } cout << (cnt+mod)%mod;//防止出现负数 return 0; } 感谢各位的阅读,以上就是“如何用C++实现搭积木小游戏”的内容了,经过本文的学习后,相信大家对如何用C++实现搭积木小游戏这一问题有了更深刻的体会,具体使用情况还需要大家实践验证。这里是创新互联,小编将为大家推送更多相关知识点的文章,欢迎关注!
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