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您好，#includestdio.h
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#includestdlib.h
#includeiostream.h
typedef struct data
{
float x;
float y;
}Data;//变量x和函数值y的结构
Data d[20];//最多二十组数据
float f(int s,int t)//牛顿插值法，用以返回插商
{
if(t==s+1)
return (d[t].y-d[s].y)/(d[t].x-d[s].x);
else
return (f(s+1,t)-f(s,t-1))/(d[t].x-d[s].x);
}
float Newton(float x,int count)
{
int n;
while(1)
{
cout"请输入n值(即n次插值):";//获得插值次数
cinn;
if(n=count-1)// 插值次数不得大于count－1次
break;
else
system("cls");
}
//初始化t，y，yt。
float t=1.0;
float y=d[0].y;
float yt=0.0;
//计算y值
for(int j=1;j=n;j++)
{
t=(x-d[j-1].x)*t;
yt=f(0,j)*t;
//coutf(0,j)endl;
y=y+yt;
}
return y;
}
float lagrange(float x,int count)
{
float y=0.0;
for(int k=0;kcount;k++)//这儿默认为count－1次插值
{
float p=1.0;//初始化p
for(int j=0;jcount;j++)
{//计算p的值
if(k==j)continue;//判断是否为同一个数
p=p*(x-d[j].x)/(d[k].x-d[j].x);
}
y=y+p*d[k].y;//求和
}
return y;//返回y的值
}
void main()
{
float x,y;
int count;
while(1)
{
cout"请输入x[i],y[i]的组数，不得超过20组:";//要求用户输入数据组数
cincount;
if(count=20)
break;//检查输入的是否合法
system("cls");
}
//获得各组数据
for(int i=0;icount;i++)
{
cout"请输入第"i+1"组x的值:";
cind[i].x;
cout"请输入第"i+1"组y的值:";
cind[i].y;
system("cls");
}
cout"请输入x的值:";//获得变量x的值
cinx;
while(1)
{
int choice=3;
cout"请您选择使用哪种插值法计算："endl;
cout" (0):退出"endl;
cout" (1):Lagrange"endl;
cout" (2):Newton"endl;
cout"输入你的选择：";
cinchoice;//取得用户的选择项
if(choice==2)
{
cout"你选择了牛顿插值计算方法，其结果为：";
y=Newton(x,count);break;//调用相应的处理函数
}
if(choice==1)
{
cout"你选择了拉格朗日插值计算方法，其结果为：";
y=lagrange(x,count);break;//调用相应的处理函数
}
if(choice==0)
break;
system("cls");
cout"输入错误!!!!"endl;
}
coutx" , "yendl;//输出最终结果
}
拉格朗日插值Python代码实现
1. 数学原理
对某个多项式函数有已知的k+1个点，假设任意两个不同的都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：
其中每个lj(x)为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：
2. 轻量级实现
利用
直接编写程序，可以直接插值，并且得到对应的函数值。但是不能得到系数，也不能对其进行各项运算。
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def h(x,y,a): ans=0.0 for i in range(len(y)): t=y[i] for j in range(len(y)): if i !=j: t*=(a-x[j])/(x[i]-x[j]) ans +=t return ansx=[1,0]y=[0,2]print(h(x,y,2))
上述代码中，h(x,y,a)就是插值函数，直接调用就行。参数说明如下：
x,y分别是对应点的x值和y值。具体详解下解释。
a为想要取得的函数的值。
事实上，最简单的拉格朗日插值就是两点式得到的一条直线。
例如：
p点(1,0)q点(0,2)
这两个点决定了一条直线，所以当x=2的时候，y应该是-2
该代码就是利用这两个点插值，然后a作为x=2调用函数验证的。
3. 引用库
3.1 库的安装
主要依赖与 scipy。官方网站见：
安装的方法很简单，就是使用pip install scipy 如果失败，则将whl文件下载到本地再利用命令进行安装。
可能如果没有安装numpy
3.2 库的使用
from scipy.interplotate import lagrange
直接调用lagrange(x,y)这个函数即可，返回 一个对象。
参数x,y分别是对应各个点的x值和y值。
例如：(1,2) (3,5) (5,9)这三个点，作为函数输入应该这么写：
x＝[1,3,5]
y =[2, 5, 9]
a=lagrange(x,y)
直接输出该对象，就能看到插值的函数。
利用该对象，能得到很多特性。具体参见：
a.order得到阶
a[]得到系数
a()得到对应函数值
此外可以对其进行加减乘除运算
3.3 代码实现
1234567 from scipy.interpolate import lagrangex=[1,2,3,4,7]y=[5,7,10,3,9]a=lagrange(x,y)print(a)print(a(1),a(2),a(3))print(a[0],a[2],a[3])
结果是：
class 'numpy.lib.polynomial.poly1d' 4
4 3 2
0.5472 x - 7.306 x + 30.65 x - 47.03 x + 28.13
5.0 7.0 10.0
28.1333333333 30.6527777778 -7.30555555556
解释：
class 'numpy.lib.polynomial.poly1d' 4
这一行是输出a的类型，以及最高次幂。
4 3 2
0.5472 x - 7.306 x + 30.65 x - 47.03 x + 28.13
第二行和第三行就是插值的结果，显示出的函数。
第二行的数字是对应下午的x的幂，如果对应不齐，则是排版问题。
5.0 7.0 10.0
第四行是代入的x值，得到的结果。
也就是说，用小括号f(x)的这种形式，可以直接得到计算结果。
28.1333333333 30.6527777778 -7.30555555556
您好，一般地，若已知y=f(x)在互不相同 n+1 个点x0,x1,x2...,xn处的函数值y0,y1,y2...,yn( 即该函数过(x0,y0)(x1,y1)(x2,y2)...(xn,yn)这n个点），则可以考虑构造一个过这n+1 个点的、次数不超过n的多项式y=Pn(x),使其满足：
Pn(xk)=yk, k=0,1,2,...,n （*）
要估计任一点ξ，ξ≠xi,i=0,1,2,...,n,则可以用Pn（ξ）的值作为准确值f(ξ)的近似值，此方法叫做“插值法”。
称式（*）为插值条件（准则），含xi(i=0,1,...,n)的最小区间[a,b](a=min{x0,x1,...,xn},b=max{x0,x1,...,xn})
定理
满足插值条件的、次数不超过n的多项式是存在而且是唯一的。
