1982年，J．Hopfield 提出了可用作联想存储器的互连网络，这个网络称为 Hopfield 网络模型，也称 Hopfield 模型。Hopfield 神经网络模型是一种循环神经网络，从输出到输入有反馈连接。Hopfield 网络有离散型和连续型两种。

反馈神经网络由于其输出端有反馈到其输入端；所以，Hopfield 网络在输入的激励下，会产生不断的状态变化。当有输入之后，可以求取出Hopfield 的输出，这个输出反馈到输入从而产生新的输出，这个反馈过程一直进行下去。如果Hopfield 网络是一个能收敛的稳定网络，则这个反馈与迭代的计算过程所产生的变化越来越小，一旦到达了稳定平衡状态；那么Hopfield 网络就会输出一个稳定的恒值。对于一个Hopfield 网络来说，关键是在于确定它在稳定条件下的权系数。

%% 清空环境变量

clc

clear

%% 数据导入

load data1 array_one

load data2 array_two

%% 训练样本（目标向量）

 T=[array_one;array_two]';

%% 创建网络

 net=newhop(T);

%% 数字1和2的带噪声数字点阵（固定法）

load data1_noisy noisy_array_one

load data2_noisy noisy_array_two

%% 数字识别

noisy_one={(noisy_array_one)'};

identify_one=sim(net,{10,10},{},noisy_one);

identify_one{10}';

noisy_two={(noisy_array_two)'};

identify_two=sim(net,{10,10},{},noisy_two);

identify_two{10}';

%% 结果显示

Array_one=imresize(array_one,20);

subplot(3,2,1)

imshow(Array_one)

title('标准(数字1)') 

Array_two=imresize(array_two,20);

subplot(3,2,2)

imshow(Array_two)

title('标准(数字2)') 

subplot(3,2,3)

Noisy_array_one=imresize(noisy_array_one,20);

imshow(Noisy_array_one)

title('噪声(数字1)') 

subplot(3,2,4)

Noisy_array_two=imresize(noisy_array_two,20);

imshow(Noisy_array_two)

title('噪声(数字2)')

subplot(3,2,5)

imshow(imresize(identify_one{10}',20))

title('识别(数字1)')

subplot(3,2,6)

imshow(imresize(identify_two{10}',20))

title('识别(数字2)')