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基本形式
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线性模型(linear model)就是试图通过属性的线性组合来进行预测的函数，基本形式如下：
f(x)=wTx+b
许多非线性模型可在线性模型的基础上通过引入层结构或者高维映射（比如核方法）来解决。线性模型有很好的解释性。
线性回归
线性回归要求均方误差最小:
(w∗,b∗)=argmin∑i=1m(f(xi)−yi)2
均方误差有很好的几何意义，它对应了常用的欧式距离(Euclidean distance)。基于均方误差最小化来进行模型求解称为最小二乘法(least square method)，线性回归中，最小二乘发就是试图找到一条直线，使得所有样本到直线的欧式距离之和最小。
我们把上式写成矩阵的形式：
w∗=argmin(y−Xw)T(y−Xw)
这里我们把b融合到w中，X中最后再加一列1。为了求最小值，我们对w求导并令其为0：
2XT(Xw−y)=0
当XTX为满秩矩阵(full-rank matrix)时是可逆的。此时：
w=(XTX)−1XTy
令xi=(xi,1)，可以得到线性回归模型：
f(xi)=xTi(XTX)−1XTy
SciPy 里面的子函数库optimize， 一般情况下可用curve_fit函数直接拟合或者leastsq做最小二乘
简介
本例子是通过对一组逻辑回归映射进行输出，使得网络的权重和偏置达到最理想状态，最后再进行预测。其中，使用GD算法对参数进行更新，损耗函数采取交叉商来表示，一共训练10000次。
2.python代码
#!/usr/bin/python
import numpy
import theano
import theano.tensor as T
rng=numpy.random
N=400
feats=784
# D[0]:generate rand numbers of size N,element between (0,1)
# D[1]:generate rand int number of size N,0 or 1
D=(rng.randn(N,feats),rng.randint(size=N,low=0,high=2))
training_steps=10000
# declare symbolic variables
x=T.matrix('x')
y=T.vector('y')
w=theano.shared(rng.randn(feats),name='w') # w is shared for every input
b=theano.shared(0.,name='b') # b is shared too.
print('Initial model:')
print(w.get_value())
print(b.get_value())
# construct theano expressions,symbolic
p_1=1/(1+T.exp(-T.dot(x,w)-b)) # sigmoid function,probability of target being 1
prediction=p_10.5
xent=-y*T.log(p_1)-(1-y)*T.log(1-p_1) # cross entropy
cost=xent.mean()+0.01*(w**2).sum() # cost function to update parameters
gw,gb=T.grad(cost,[w,b]) # stochastic gradient descending algorithm
#compile
train=theano.function(inputs=[x,y],outputs=[prediction,xent],updates=((w,w-0.1*gw),(b,b-0.1*gb)))
predict=theano.function(inputs=[x],outputs=prediction)
# train
for i in range(training_steps):
pred,err=train(D[0],D[1])
print('Final model:')
print(w.get_value())
print(b.get_value())
print('target values for D:')
print(D[1])
print('prediction on D:')
print(predict(D[0]))
print('newly generated data for test:')
test_input=rng.randn(30,feats)
print('result:')
print(predict(test_input))
3.程序解读
如上面所示，首先导入所需的库，theano是一个用于科学计算的库。然后这里我们随机产生一个输入矩阵，大小为400*784的随机数，随机产生一个输出向量大小为400，输出向量为二值的。因此，称为逻辑回归。
然后初始化权重和偏置，它们均为共享变量(shared)，其中权重初始化为较小的数，偏置初始化为0，并且打印它们。
这里我们只构建一层网络结构，使用的激活函数为logistic sigmoid function，对输入量乘以权重并考虑偏置以后就可以算出输入的激活值，该值在(0,1)之间，以0.5为界限进行二值化，然后算出交叉商和损耗函数，其中交叉商是代表了我们的激活值与实际理论值的偏离程度。接着我们使用cost分别对w,b进行求解偏导，以上均为符号表达式运算。
接着我们使用theano.function进行编译优化，提高计算效率。得到train函数和predict函数，分别进行训练和预测。
接着，我们对数据进行10000次的训练，每次训练都会按照GD算法进行更新参数，最后我们得到了想要的模型，产生一组新的输入，即可进行预测。
1、什么是多元线性回归模型？
当y值的影响因素不唯一时,采用多元线性回归模型。
y =y=β0+β1x1+β2x2+...+βnxn
例如商品的销售额可能不电视广告投入,收音机广告投入,报纸广告投入有关系,可以有 sales =β0+β1*TV+β2* radio+β3*newspaper.
2、使用pandas来读取数据
pandas 是一个用于数据探索、数据分析和数据处理的python库
[python] view plain copy
import pandas as pd
[html] view plain copy
pre name="code" class="python"# read csv file directly from a URL and save the results
data = pd.read_csv('/home/lulei/Advertising.csv')
# display the first 5 rows
data.head()
上面代码的运行结果：
TV Radio Newspaper Sales
0 230.1 37.8 69.2 22.1
1 44.5 39.3 45.1 10.4
2 17.2 45.9 69.3 9.3
3 151.5 41.3 58.5 18.5
4 180.8 10.8 58.4 12.9
上面显示的结果类似一个电子表格，这个结构称为Pandas的数据帧(data frame)，类型全称：pandas.core.frame.DataFrame.
pandas的两个主要数据结构：Series和DataFrame：
Series类似于一维数组，它有一组数据以及一组与之相关的数据标签(即索引)组成。
DataFrame是一个表格型的数据结构，它含有一组有序的列，每列可以是不同的值类型。DataFrame既有行索引也有列索引，它可以被看做由Series组成的字典。
[python] view plain copy
# display the last 5 rows
data.tail()
只显示结果的末尾5行
TV Radio Newspaper Sales
195 38.2 3.7 13.8 7.6
196 94.2 4.9 8.1 9.7
197 177.0 9.3 6.4 12.8
198 283.6 42.0 66.2 25.5
199 232.1 8.6 8.7 13.4
[html] view plain copy
# check the shape of the DataFrame(rows, colums)
data.shape
查看DataFrame的形状,注意第一列的叫索引，和数据库某个表中的第一列类似。
(200,4)
3、分析数据
特征：
TV：对于一个给定市场中单一产品，用于电视上的广告费用（以千为单位）
Radio：在广播媒体上投资的广告费用
Newspaper：用于报纸媒体的广告费用
响应：
Sales：对应产品的销量
在这个案例中，我们通过不同的广告投入，预测产品销量。因为响应变量是一个连续的值，所以这个问题是一个回归问题。数据集一共有200个观测值，每一组观测对应一个市场的情况。
注意：这里推荐使用的是seaborn包。网上说这个包的数据可视化效果比较好看。其实seaborn也应该属于matplotlib的内部包。只是需要再次的单独安装。
[python] view plain copy
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
# visualize the relationship between the features and the response using scatterplots
sns.pairplot(data, x_vars=['TV','Radio','Newspaper'], y_vars='Sales', size=7, aspect=0.8)
plt.show()#注意必须加上这一句，否则无法显示。
[html] view plain copy
这里选择TV、Radio、Newspaper 作为特征，Sales作为观测值
[html] view plain copy
返回的结果：
seaborn的pairplot函数绘制X的每一维度和对应Y的散点图。通过设置size和aspect参数来调节显示的大小和比例。可以从图中看出，TV特征和销量是有比较强的线性关系的，而Radio和Sales线性关系弱一些，Newspaper和Sales线性关系更弱。通过加入一个参数kind='reg'，seaborn可以添加一条最佳拟合直线和95%的置信带。
[python] view plain copy
sns.pairplot(data, x_vars=['TV','Radio','Newspaper'], y_vars='Sales', size=7, aspect=0.8, kind='reg')
plt.show()
结果显示如下：
4、线性回归模型
优点：快速；没有调节参数；可轻易解释；可理解。
缺点：相比其他复杂一些的模型，其预测准确率不是太高，因为它假设特征和响应之间存在确定的线性关系，这种假设对于非线性的关系，线性回归模型显然不能很好的对这种数据建模。
线性模型表达式： y=β0+β1x1+β2x2+...+βnxn 其中
y是响应
β0是截距
β1是x1的系数，以此类推
在这个案例中： y=β0+β1∗TV+β2∗Radio+...+βn∗Newspaper
(1)、使用pandas来构建X(特征向量)和y(标签列)
scikit-learn要求X是一个特征矩阵，y是一个NumPy向量。
pandas构建在NumPy之上。
因此，X可以是pandas的DataFrame，y可以是pandas的Series，scikit-learn可以理解这种结构。
[python] view plain copy
#create a python list of feature names
feature_cols = ['TV', 'Radio', 'Newspaper']
# use the list to select a subset of the original DataFrame
X = data[feature_cols]
# equivalent command to do this in one line
X = data[['TV', 'Radio', 'Newspaper']]
# print the first 5 rows
print X.head()
# check the type and shape of X
print type(X)
print X.shape
输出结果如下：
TV Radio Newspaper
0 230.1 37.8 69.2
1 44.5 39.3 45.1
2 17.2 45.9 69.3
3 151.5 41.3 58.5
4 180.8 10.8 58.4
class 'pandas.core.frame.DataFrame'
(200, 3)
[python] view plain copy
# select a Series from the DataFrame
y = data['Sales']
# equivalent command that works if there are no spaces in the column name
y = data.Sales
# print the first 5 values
print y.head()
输出的结果如下：
0 22.1
1 10.4
2 9.3
3 18.5
4 12.9
Name: Sales
（2）、构建训练集与测试集
[html] view plain copy
pre name="code" class="python"span style="font-size:14px;"##构造训练集和测试集
from sklearn.cross_validation import train_test_split #这里是引用了交叉验证
X_train,X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=1)
#default split is 75% for training and 25% for testing
[html] view plain copy
print X_train.shape
print y_train.shape
print X_test.shape
print y_test.shape
输出结果如下：
(150, 3)
(150,)
(50, 3)
(50,)
注：上面的结果是由train_test_spilit()得到的，但是我不知道为什么我的版本的sklearn包中居然报错：
ImportError Traceback (most recent call last)ipython-input-182-3eee51fcba5a in module() 1 ###构造训练集和测试集---- 2 from sklearn.cross_validation import train_test_split 3 #import sklearn.cross_validation 4 X_train,X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=1) 5 # default split is 75% for training and 25% for testingImportError: cannot import name train_test_split
处理方法：1、我后来重新安装sklearn包。再一次调用时就没有错误了。
2、自己写函数来认为的随机构造训练集和测试集。(这个代码我会在最后附上。)
（3）sklearn的线性回归
[html] view plain copy
from sklearn.linear_model import LinearRegression
linreg = LinearRegression()
model=linreg.fit(X_train, y_train)
print model
print linreg.intercept_
print linreg.coef_
输出的结果如下：
LinearRegression(copy_X=True, fit_intercept=True, normalize=False)
2.66816623043
[ 0.04641001 0.19272538 -0.00349015]
[html] view plain copy
# pair the feature names with the coefficients
zip(feature_cols, linreg.coef_)
输出如下：
[('TV', 0.046410010869663267),
('Radio', 0.19272538367491721),
('Newspaper', -0.0034901506098328305)]
y=2.668+0.0464∗TV+0.192∗Radio-0.00349∗Newspaper
如何解释各个特征对应的系数的意义？
对于给定了Radio和Newspaper的广告投入，如果在TV广告上每多投入1个单位，对应销量将增加0.0466个单位。就是加入其它两个媒体投入固定，在TV广告上每增加1000美元（因为单位是1000美元），销量将增加46.6（因为单位是1000）。但是大家注意这里的newspaper的系数居然是负数，所以我们可以考虑不使用newspaper这个特征。这是后话，后面会提到的。
（4）、预测
[python] view plain copy
y_pred = linreg.predict(X_test)
print y_pred
[python] view plain copy
print type(y_pred)
输出结果如下：
[ 14.58678373 7.92397999 16.9497993 19.35791038 7.36360284
7.35359269 16.08342325 9.16533046 20.35507374 12.63160058
22.83356472 9.66291461 4.18055603 13.70368584 11.4533557
4.16940565 10.31271413 23.06786868 17.80464565 14.53070132
15.19656684 14.22969609 7.54691167 13.47210324 15.00625898
19.28532444 20.7319878 19.70408833 18.21640853 8.50112687
9.8493781 9.51425763 9.73270043 18.13782015 15.41731544
5.07416787 12.20575251 14.05507493 10.6699926 7.16006245
11.80728836 24.79748121 10.40809168 24.05228404 18.44737314
20.80572631 9.45424805 17.00481708 5.78634105 5.10594849]
type 'numpy.ndarray'
5、回归问题的评价测度
(1) 评价测度
对于分类问题，评价测度是准确率，但这种方法不适用于回归问题。我们使用针对连续数值的评价测度(evaluation metrics)。
这里介绍3种常用的针对线性回归的测度。
1)平均绝对误差(Mean Absolute Error, MAE)
(2)均方误差(Mean Squared Error, MSE)
(3)均方根误差(Root Mean Squared Error, RMSE)
这里我使用RMES。
[python] view plain copy
pre name="code" class="python"#计算Sales预测的RMSE
print type(y_pred),type(y_test)
print len(y_pred),len(y_test)
print y_pred.shape,y_test.shape
from sklearn import metrics
import numpy as np
sum_mean=0
for i in range(len(y_pred)):
sum_mean+=(y_pred[i]-y_test.values[i])**2
sum_erro=np.sqrt(sum_mean/50)
# calculate RMSE by hand
print "RMSE by hand:",sum_erro
最后的结果如下：
type 'numpy.ndarray' class 'pandas.core.series.Series'
50 50
(50,) (50,)
RMSE by hand: 1.42998147691
（2）做ROC曲线
[python] view plain copy
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure()
plt.plot(range(len(y_pred)),y_pred,'b',label="predict")
plt.plot(range(len(y_pred)),y_test,'r',label="test")
plt.legend(loc="upper right") #显示图中的标签
plt.xlabel("the number of sales")
plt.ylabel('value of sales')
plt.show()
显示结果如下：（红色的线是真实的值曲线，蓝色的是预测值曲线）
直到这里整个的一次多元线性回归的预测就结束了。
6、改进特征的选择
在之前展示的数据中，我们看到Newspaper和销量之间的线性关系竟是负关系（不用惊讶，这是随机特征抽样的结果。换一批抽样的数据就可能为正了），现在我们移除这个特征，看看线性回归预测的结果的RMSE如何？
依然使用我上面的代码，但只需修改下面代码中的一句即可：
[python] view plain copy
#create a python list of feature names
feature_cols = ['TV', 'Radio', 'Newspaper']
# use the list to select a subset of the original DataFrame
X = data[feature_cols]
# equivalent command to do this in one line
#X = data[['TV', 'Radio', 'Newspaper']]#只需修改这里即可pre name="code" class="python" style="font-size: 15px; line-height: 35px;"X = data[['TV', 'Radio']] #去掉newspaper其他的代码不变
# print the first 5 rowsprint X.head()# check the type and shape of Xprint type(X)print X.shape
最后的到的系数与测度如下：
LinearRegression(copy_X=True, fit_intercept=True, normalize=False)
2.81843904823
[ 0.04588771 0.18721008]
RMSE by hand: 1.28208957507
然后再次使用ROC曲线来观测曲线的整体情况。我们在将Newspaper这个特征移除之后，得到RMSE变小了，说明Newspaper特征可能不适合作为预测销量的特征，于是，我们得到了新的模型。我们还可以通过不同的特征组合得到新的模型，看看最终的误差是如何的。
备注：
之前我提到了这种错误：
注：上面的结果是由train_test_spilit()得到的，但是我不知道为什么我的版本的sklearn包中居然报错：
ImportError Traceback (most recent call last)ipython-input-182-3eee51fcba5a in module() 1 ###构造训练集和测试集---- 2 from sklearn.cross_validation import train_test_split 3 #import sklearn.cross_validation 4 X_train,X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=1) 5 # default split is 75% for training and 25% for testingImportError: cannot import name train_test_split
处理方法：1、我后来重新安装sklearn包。再一次调用时就没有错误了。
2、自己写函数来认为的随机构造训练集和测试集。(这个代码我会在最后附上。)
这里我给出我自己写的函数：
