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1、所谓的傅里叶级数，就是将一个复杂函数展开成三角级数，将复杂的函数展开成幂级数，考虑的是在误差允许的范围内，通过熟悉的一元多次函数来研究复杂函数的有关问题。
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2、法国数学家傅里叶认为，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。
3、法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。
傅立叶变换
定义
f(t)满足傅立叶积分定理条件时，下图①式的积分运算称为f(t)的傅立叶变换，②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数，f(t)叫做F(ω)的象原函数。 应用
傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
概要介绍
* 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的（参见：林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为 C. C. Lin L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974）。
* 傅里叶变换属于谐波分析。
* 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;
* 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;
* 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;
* 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).
基本性质
线性性质
两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数f \left( x\right )和g \left(x \right)的傅里叶变换\mathcal[f]和\mathcal[g]都存在，α 和 β 为任意常系数，则\mathcal[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal[f]+\beta\mathcal[g]；傅里叶变换算符\mathcal可经归一化成为么正算符；
频移性质
若函数f \left( x\right )存在傅里叶变换，则对任意实数 ω0，函数f(x) e^{i \omega_ x}也存在傅里叶变换，且有\mathcal[f(x)e^{i \omega_ x}]=F(\omega + \omega _0 ) 。式中花体\mathcal是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位\sqrt；
微分关系
若函数f \left( x\right )当|x|\rightarrow\infty时的极限为0，而其导函数f'(x)的傅里叶变换存在，则有\mathcal[f'(x)]=-i \omega \mathcal[f(x)] ，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 �6�1 iω 。更一般地，若f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\ldots=f^{(k-1)}(\pm\infty)=0，且\mathcal[f^{(k)}(x)]存在，则\mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i \omega)^ \mathcal[f] ，即 k 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子( �6�1 iω)k。
卷积特性
若函数f \left( x\right )及g \left( x\right )都在(-\infty,+\infty)上绝对可积，则卷积函数f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-\xi)g(\xi)d\xi的傅里叶变换存在，且\mathcal[f*g]=\mathcal[f]\cdot\mathcal[g] 。卷积性质的逆形式为\mathcal^[F(\omega)G(\omega)]=\mathcal^[F(\omega)]*\mathcal^[G(\omega)] ，即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积。
Parseval定理
若函数f \left( x\right )可积且平方可积，则\int_{-\infty}^{+\infty} f^2 (x)dx = \frac{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^d\omega 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里叶变换。
傅里叶变换的不同变种
连续傅里叶变换
主条目：连续傅立叶变换
一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。
f(t) = \mathcal^[F(\omega)] = \frac{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.
上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。
一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。
当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换(cosine transform) 或 正弦转换(sine transform).
另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(�6�1ω) = F(ω)*成立.
傅里叶级数
主条目：傅里叶级数
连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：
f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^ ,
其中Fn 为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：
f(x) = \fraca_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right],
其中an和bn是实频率分量的振幅。
离散时间傅里叶变换
主条目：离散时间傅里叶变换
离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。
快速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。
设x(n)为N项的复数序列，由DFT变换，任一X（m）的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N项复数序列的X（m）, 即N点DFT变换大约就需要N2次运算。当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=1048576次运算，在FFT中，利用WN的周期性和对称性，把一个N项序列（设N=2k,k为正整数），分为两个N/2项的子序列，每个N/2点DFT变换需要（N/2）2次运算，再用N次运算把两个N/2点的DFT 变换组合成一个N点的DFT变换。这样变换以后，总的运算次数就变成N+2（N/2）2=N+N2/2。继续上面的例子，N=1024时，总的运算次数就变成了525312次，节省了大约50%的运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT运算单元，那么N点的 DFT变换就只需要Nlog2N次的运算，N在1024点时，运算量仅有10240次，是先前的直接算法的1%，点数越多，运算量的节约就越大，这就是 FFT的优越性.
傅里叶变换（Transformée de Fourier）是一种积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
应用
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
概要介绍
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的（参见：林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为 C. C. Lin L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974）。
傅里叶变换属于谐波分析。
傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;
正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;
卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;
离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).
当白色的光经过三菱镜的时候，就会分解成七色光。这就是一种傅里叶变换，将白色光分解成其中颜色的光，逆变换是七色光合成白色光。
光是具有波粒二象性，所以我们可以认为光是波，那么，他的函数就是 , 其中 表示频率, 每一种颜色的光都是一个正弦波函数，所以白色光的函数表示就是:
我们看到的是7色光，而实际上是无穷多光，所以标准的表达式:
我们能够同时听到各种各样的声音，但是，我们的大脑弄将噪音剔除，而听清楚人的说话声音。这个过程与七色光是类似的。每一个声音都是一个波，那么，大脑将声音分解出来，将自己不想听的声波过滤掉，就是滤波，那么，就能够从混合的声音中听清楚想要的声音了。
前面所说的例子，都涉及到一个操作，就是变换，这种变换就傅里叶变换，将一个函数分解成若干个函数的线性组合。
先从傅里叶级数入手。对于任意一个周期函数 其周期为 , 其可以分解成如下:
为什么是上面的公式？从几个方面来解释, 1. 周期 2. 函数分解 3. 函数的基
因为 的周期是 , 所以，我们选择的函数，需要也是周期是 , 在上面的式子中, 的最小周期是 ， 因为其最小周期是 ，所以 也是其周期。
例如
通过上面的解释，我们知道 和 都是满足周期是 的。
任何一个函数都能够分解成一个奇函数和一个偶函数的和。
因为
所以 是奇函数; 同理可以证明 是偶函数。
在介绍函数的基，先看看向量基，这是我们熟悉的事情。对于直角坐标系任意点
都可以通过两个基本向量来表示, 分别是 和 , 也就是:
三维的也同样,
在向量空间，我们将 , 称作基向量，而任何一个向量都可以通过基向量的线性组合来表示出来。
那么，函数能否有类似的这样一组基来表示成函数基的线性组合呢？如果能够表示成基的线性组合，那么函数的分解这个问题也就解决了？
看看向量基具备的特性，然后，我们在仿照来寻找函数基.
向量满足正交性。也就是
顺便说一下, 其实代表了两个向量的相似度，正交基是垂直的所以相似度为0.
根据向量的正交性，可以推断出函数的正交性是满足
现在来考察 , 为了简单起见，令 , 考察 区间, 这样就是看 与 .
所以与向量的正交性定义是一致的，所以认为 与 是正交的。
同样的方式，可以证明以下是正交的:
所以， 是正交的，这也就是我们看到的傅里叶表达式，可以通过 这三个正交基来线性组合表达的方式。
有了函数正交基的概念，求解系数就变得非常容易，因为相互正交的积分为0, 自己与自己正交为 。先求解
为了简单，我们假设 , 对 两边同时乘以正交基 并积分。如下:
所以有
同理也可以推导出
对于 来说，乘以 后做积分即可。
可以看出每一个系数实际就是 乘以 其相应正交基的积分。
上面是假设 ，那么，去掉这个限制，用 来表示，就是如下:
求 的傅里叶级数，当 .
依据公式，求得:
, ,
所以
令 , 有
所以有:
这么神奇的级数和。
欧拉公式:
通过欧拉公式，变换得到:
带入到傅里叶级数中有:
通过上面的等式，也可以得出:
现在复数域上傅里叶变换的表达式就是:
在这种变化下，正交基是 与 。也就是:
当 时,
当 时,
所以也是符合符合正交基的定义的。有了正交基，计算 就方便了，两边乘以 积分即可。所以有:
前面的计算是假设 , 更通用的公式是:
傅里叶级数将函数从时域转换到频域。我们将傅里叶级数稍稍变化一下写法，以向量的形式写出来。就是:
我们将系数向量单独看，也就是说任何一个函数 , 如果，我们知道了系数向量也就知道了 , 因为函数基的向量都是一样的，每一个函数基又是周期函数，所以频率就代表了这个函数基，这样周期函数组成的函数基空间，就是频域。可以用下面的式子来表达:
是 的 傅里叶级数变换; 是 的逆变换。如果讲 以 为坐标系绘制成图像，就是频谱。
目前为止，我们使用了两种变换，分别是实数域变换和复数域变换，变幻出了不同的系数。那么，这些系数有什么含义？
在正弦函数基变化下，我们知道对于 其中, 是振幅，也就是代表了正弦波的能量。所以不论在哪种分解下，都是能量在不同的维度上的分解。
对于复数域上:
其中 表示 的共轭。
所以这些系数也可以看做是能量。上面的推导，也叫: 帕塞瓦。
前面的傅里叶级数是基于周期是 的周期函数变换而来。那么对于非周期函数如何解决呢？ 可以将其转化成 的函数来看待。为了方便，我们假设周期 .
令
将以上带入 有:
令:
有:
这与傅里叶级数的形式是一样的（一个是积分一个是求和）, 是函数基。 的傅里叶变换就是 , 是 的傅里叶逆变换， 。 就是频率曲线。
绘制出来是频谱，那么 就是曲线。
这幅图很好的说明了这个过程:
, 那么 的傅里叶变换 是什么呢？直接计算:
所以 。这个性质在解微分方程的时候，非常方便。
帕塞瓦定理:
卷积的傅里叶变换。 卷积操作的傅里叶变换推导:
所以 和 的卷积的傅里叶变换就是， 独自傅里叶变换的乘积。
在实际的情况中，我们很难获得连续的值，那么，就通过等间距采样来获得信号数据。那么，离散的采样回来的数据，如何进行傅里叶变换？这就是 离散傅里叶变换 D.F.T。
假设采样了 个等间距的点, 获得数据是 ，令 , 离散傅里叶变换的表达式如下:
令 , 就有:
上面的的式子可以写成矩阵的形式:
这就是离散傅里叶变换。那么，离散傅里叶变换的逆变换如何计算呢？ 就是对变换矩阵 求逆矩阵即可。
到此已经将傅里叶级数，傅里叶变换，离散傅里叶变化 以及 傅里叶变换的卷积相关性质介绍完毕。
